Enunciado

Calcule a integral de superfície.

int int_S^() y d S

S é a superfície z = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2))) , 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1

Passo 1

Galera, a integral vai ficar assim:

int int_S^() y d S = int int_D^() y sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2) d A = int_0^1 int_0^1 y sqrt(1 + (x^((1)/(2)))^2 + (y^((1)/(2)))^2) d x d y = int_0^1 int_0^1 y sqrt(1 + x + y) d x d y

Passo 2

Show! Agora vamos começar a resolver a integral:

int_0^1 int_0^1 y sqrt(1 + x + y) d x d y = int_0^1 y [((1 + x + y)^((3)/(2)))/((3)/(2))]_0^1 d y = int_0^1 (2)/(3) y [(y + 2)^((3)/(2)) - (y + 1)^((3)/(2))] d y

Passo 3

Para terminar de resolver a integral, precisamos fazer substituição de variáveis:

u = y + 2 e t = y + 1

int_0^1 (2)/(3) y [(y + 2)^((3)/(2)) - (y + 1)^((3)/(2))] d y = int_2^3 (2)/(3) (u - 2) u^((3)/(2)) d u - int_1^2 (2)/(3) (t - 1) t^((3)/(2)) d t = int_2^3 (2)/(3) (u^((5)/(2)) - 2 u^((3)/(2))) d u - int_1^2 (2)/(3) (t^((5)/(2)) - t^((3)/(2))) d t = (2)/(3) [(2 u^((7)/(2)))/(7) - (4 u^((5)/(2)))/(5)]_2^3 - (2)/(3) [(2 t^((7)/(2)))/(7) - (2 t^((5)/(2)))/(5)]_1^2 = (4)/(105) (9 sqrt(3) + 4 sqrt(2) - 2)

Resposta

(4)/(105) (9 sqrt(3) + 4 sqrt(2) - 2)

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