Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1

Passo 1

Pessoal, a teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente! Show, vamos dar uma olhada na série que nos foi dada:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1

Passo 2

Vamos resolver o limite? A primeira coisa que podemos fazer é dividir o numerador e o denominador por n 2 , pra facilitar as nossas contas e nos livrarmos de resultados indesejáveis. Assim,

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 / n 2 2 + 1 / n 2

O que nos leva a ter:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 / n 2 2 + 1 / n 2 = ln ⁡ 1 2 ≠ 0

Como o nosso resultado é diferente de zero, pelo teste da divergência temos que a série em questão é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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