Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre a sua soma.

∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1

Passo 1

Essa não é uma série geométrica, então vamos computar aqui as somas parciais dessa série:

s n = ∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + 1 6 - 1 7 + … + 1 n - 1 n + 1

Simplificando os elementos opostos, temos:

s n = ∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1 2 - 1 n + 1

Passo 2

Agora que escrevemos o somatório de outro modo, podemos verificar se a série é convergente ou divergente. A teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente! Vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n - 1 n + 1 = 0

Como o lim n → ∞ ⁡ a n , então podemos afirmar que ela é convergente.

Passo 3

Agora, pra calcular a soma, fazemos:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 n + 1

Aplicando o limite, temos:

l i m n → ∞ 1 2 - 1 n + 1 = 1 2

Resposta

Convergente

1 2

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