Enunciado

Expresse o número como uma razão de números inteiros.

5 , 71358 -

Passo 1

Queremos escrever esse número como uma razão de números inteiros, certo? A primeira coisa que precisamos saber é que quando temos esse traço em cima de um número, isso indica que temos uma dízima. No nosso caso, o número que estamos lidando é:

5 , 7 1358713587135871358 …

Esse número pode ser escrito de uma maneira diferente.

5,71358713587135871358 … = 5 + 0 , 71358 + 0 , 0 0000 71358 + 0,000000000 71358 + …

E se essa soma pudesse ser transformada numa série? Vamos olhar como o primeiro termo da série 0 , 71358 . O segundo termo é o primeiro termo multiplicado por 0,00 0 1 , correto? A mesma coisa vale para o terceiro termo. Então,

5 , 7135 8 - = 5 + ∑ n = 1 ∞ 0 , 71358 0,00 00 1 n - 1

Ou seja, temos aqui uma série geométrica de razão q = 0,00 00 1 ! Como a razão da série é menor que 1 , temos que a série é convergente!

Passo 2

Agora que sabemos que a série é convergente, vamos calcular a soma dela para determinarmos a razão dos números inteiros que geram essa dízima.

5 , 71358 - = 5 + S o m a   d a   s é r i e   g e o m é t r i c a

5 , 71358 - = 5 + 0 , 71358 1 - 0,00 00 1 = 5 + 0 , 71358 0,99 99 9 = 5 + 71358 999 99

5 , 71358 - = 5 × 999 99 + 71358 999 99

5 , 71358 - = 571353 999 99 = 190451 33333

Resposta

A razão de números inteiros é igual a:

5 , 71358 - = 190451 33333

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