Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ n = 1 ∞ 1 4 + e - n

Passo 1

Pessoal, a teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente!. Show, vamos dar uma olhada na série que nos foi dada:

lim n → ∞ ⁡ 1 4 + e - n

Passo 2

Vamos resolver o limite? Antes, uma coisa que podemos fazer é dar uma trabalhada algébrica nela, pra facilitar um cadinho a nossa vida. Assim,

lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 e n

Agora, aplicando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 e n = 1 4 + 0 = 1 4

Como o nosso resultado é diferente de zeero, temos que a série em questão é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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