Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 5 - 2 n n 3

Passo 1

Fala galera, tudo bom? O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 5 - 2 n n 3

E precisamos decidir se essa série é convergente ou não. E agora? A ideia é usar as séries que já conhecemos para comparar! Vamos relembrar?

Temos a p - s é r i e é uma série do tipo

∑ 1 n p

E que ela é convergente se p > 1 e diverge se p ≤ 1 . Sendo assim, a ideia é manipular algebricamente nossa série para podermos ter uma série desse tipo, ou até mesmo duas! Sabendo que a soma de duas séries convergentes é outra série convergente, então estamos bem!

A ideia então é separar nossa série e arrumar na forma dessa série aí! Mas relaxa, vou afzer contigo!

Passo 2

Show de bola, galera... Estamos diante de uma combinação de 2 p-séries, certo? Eita! Como enxergar 2 p-séries ali no enunciado?

Vamos fazer a seguinte manipulação algébrica na nossa série: separando em duas

∑ n = 1 ∞ 5 - 2 n n 3 = ∑ n = 1 ∞ 5 n 3 - 2 n n 3

E retirando os coeficientes para fora dos somatórios

5 ∙ ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 - 2 ∙ ∑ n = 1 ∞ n n 3 =

Podemos organizar em uma mesma potência de n

5 ∙ ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ⏟ p-série com  p = 3 - 2 ∙ ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 / 2 ⏟ p-série com  p = 5 2

Passo 3

Como as nossas p-séries tem valor de p = 3 > 1 e p = 5 / 2 > 1 , respectivamente, chegamos à conclusão de que a nossa série, por ser combinação de 2 séries convergentes, é uma série convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 5 - 2 n n 3   é convergente

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