Enunciado

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Passo 1

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = 1 n 4 ↔ f x = 1 x 4

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ x 3 / 4 3 / 4 1 t = lim t → ∞ ⁡ 4 3 t 3 4 - 4 3 = ∞

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 4   é divergente

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