Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 - 4 n + 5)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (1)/(n^2 - 4 n + 5) harr f (x) = (1)/(x^2 - 4 x + 5)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (d x)/(x^2 - 4 x + 5)

Bom, se tentarmos achar as raízes do polinômio no denominador (pensando na alternativa de resolver a integral por frações parciais), perceberemos que tais raízes são complexas (por Bháskara: Delta = (- 4)^2 - 4 * 1 * 5 = - 4 < 0 ).

Então...Chegou a hora do “pulo do gato”:

Passo 3

Vamos olhar para a integral da seguinte forma (vamos imaginar a integral como sendo indefinida, por enquanto):

int (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = int (d x)/((x^2 - 4 x + 4) + 1) = int (d x)/((x - 2)^2 + 1)

Para resolvermos essa integral, vamos usar primeiro a substituição u = x - 2 :

int (d x)/((x - 2)^2 + 1) = int (d u)/(u^2 + 1)

Agora, usaremos a seguinte substituição trigonométrica u = tg theta :. d u = sec^2 theta d theta :

int (d u)/(u^2 + 1) = int (sec^2 theta d theta)/(tg^2 theta + 1) = int (((1)/(cos^2 theta)) d theta)/(((sen^2 theta)/(cos^2 theta)) + 1) = int (((1)/(cos^2 theta)) d theta)/(((1)/(cos^2 theta))) = int d theta = theta

Assim, temos que

int (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = theta underset({[[theta = tg^(- 1) u],[u = x - 2]]))(->) int (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = tg^(- 1) (x - 2)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (d x)/(x^2 - 4 x + 5) = underset(t -> oo)(lim) [tg^(- 1) (x - 2)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) [tg^(- 1) (t - 2) - underset((3 pi)/(4))(ubrace tg^(- 1) (- 1))] = (pi)/(2) - (3 pi)/(4) = - (pi)/(4)

Passo 4

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 - 4 n + 5) é convergente

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