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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 5ª Edição - James Stewart - 14.4 - 16

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = sen ⁡ 2 x + 3 y             ( - 3,2 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ 2 x + 3 y = 2 cos ⁡ 2 x + 3 y →       N o   p o n t o   ( - 3,2 )       ∂ f ∂ x ( - 3,2 ) = 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ 2 x + 3 y = 3 cos ⁡ 2 x + 3 y →       N o   p o n t o   ( - 3,2 )       ∂ f ∂ y ( - 3,2 ) = 3

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( - 3,2 ) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para ∀ x , y ∈ R 2 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto ( - 3,2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto ( - 3,2 ) , basta fazer:

L x , y = f ( - 3,2 ) ⏟ 0 + ∂ f ∂ x ( - 3,2 ) ⏟ 2 ∙ x - - 3 + ∂ f ∂ y ( - 3,2 ) ⏟ 3 ∙ y - 2

L x , y = 2 x + 3 + 3 y - 2 ∴ L x , y = 2 x + 3 y

Resposta

L x , y = 2 x + 3 y

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