Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

17-

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

Passo 1

A integral que deveremos fazer para fazer o teste será:

∫ 1 ∞ x x 2 + 1 d x

Uma das condições para esse teste dar certo é a função ser decrescente no intervalo dado, como a função é crescente apenas de 0 até 1 então não teremos problema (é bom para saber).

Passo 2

Agora vamos fazer a integral pela seguinte substituição:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

Isso faz com que o intervalo fique da seguinte maneira:

x = 1 → u = 1 2 + 1 = 2

x = ∞ → u = ∞ 2 + 1 = ∞

Logo a integral fica da seguinte maneira:

∫ 2 ∞ 1 2 u   d u = 2 ln ⁡ u 2 ∞

Aplicando o intervalo temos:

1 2 [ ln ⁡ ∞ - ln ⁡ 2 ] = ∞

O que vai fazer com que a série seja divergente.

Resposta

Série divergente.

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