Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

24-

∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n     l n ⁡ ( ln ⁡ n )

Passo 1

Plotando um gráfico vemos que essa função é decrescente no intervalo dado (até por que x l n   x e l n ⁡ ( ln ⁡ x )   são funções crescente, então vamos nos preocupar somente com a integral:

∫ 3 ∞ 1 x ln ⁡ x   l n ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

Se substituirmos:

u = ln ⁡ x  

d u = 1 x   d x

O que nos dá a integral indefinida:

∫ 1 u ln ⁡ u d u

Agora aplicando outra substituição:

v = ln ⁡ u

d v = 1 u d u

O que nos dá outra integral indefinida:

∫ 1 v   d u = ln ⁡ v

Voltando para o domínio u teremos

l n ⁡ ( ln ⁡ u )

E voltando para o domínio x :

l n ⁡ ( l n ⁡ ( ln ⁡ x ) ) )

Passo 2

Agora aplicando o intervalo:

[ l n ⁡ ( ln ⁡ ln ⁡ x ) ) ) 3 ∞

O que dá:

l n ⁡ ( l n ⁡ ( ln ⁡ ∞ ) ) ) - l n ⁡ ( l n ⁡ ( ln ⁡ 3 ) ) )

O que tende a infinito, logo a série diverge. Parece muito estranho, mas a função decresce infinitamente e de modo extremamente lento.

Resposta

A série divergirá.

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Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
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