Enunciado

18- Plote a parábola r = 5 2 + 2   s e n   θ e sua diretriz. Também plote a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de seu foco por um ângulo π / 6 .

Passo 1

Eaee, tudo certinho?? Bom... queremos plotar a parábola dada pela seguinte equação polar:

r = 5 2 + 2   s e n   θ

Também queremos plotar a diretriz d .

Para isso, vamos comparar a nossa equação com a seguinte equação geral:

r = e d 1 - e   s e n   θ

Onde d é a diretriz e e é a excentricidade.

Em seguida, queremos plotar também a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de seu foco por um ângulo π / 6 .

Passo 2

Antes de plotar o gráfico vamos encontrar a equação da diretriz ao multiplicar o numerador e o denominador dessa parábola por ½ :

r = 5 2 - 2 s e n   θ ⋅ 1 / 2 1 / 2 ∴

r = 5 2 1 - 1   s e n   θ

Como a excentricidade vale 1 e o denominador tem um seno positivo então a equação da diretriz vale:

y = + d

Onde d é encontrado por:

5 2 = e d → d = 5 2

Logo:

y = 5 2

Passo 3

Pela equação que nos foi dada, teremos uma parábola com concavidade voltada para baixo.

O foco será o ponto 0,0 . Lembrando que a diretriz é y = 5 2 .

Assim, plotando o nosso gráfico, temos:

Onde a reta em azul é a diretriz.

Passo 4

Agora a rotação dessa parábola entorno de seu centro em um ângulo de π / 6 (no sentido horário ) e - π / 6 no sentido anti-horário será igual a:

r = 5 2 + 2   s e n   θ + π 6

Plotando o gráfico girado no sentido horário nós teremos a curva verde:

Resposta

y = 5 2

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