Enunciado

Determine se a série

∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 )

é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Fala aí, pessoal!

A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.

Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.

Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.

Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série ∑ a n for absolutamente convergente, então ela é convergente.

E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.

Passo 2

O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,

a n = 2 n n ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 )

O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima, lembrando que o denominador de an é o produto dos n primeiros termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 5 e a razão é 3. Assim, temos que:

a n + 1 = 2 n + 1 n + 1 ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) ( 3 ( n + 1 ) + 2 ) =   2 n + 1 n + 1 ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 5 )

Segue, então, que:

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 5 ) 2 n n ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) =   2 n + 1 n + 1 ! 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 5 ) ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ … ⋅ ( 3 n + 2 ) 2 n n !

Veja que os n primeiros termos da P.A. (5, 8, 11, ..., 3n+2) podem ser cortados ao fazermos o produto acima. Logo, temos que:

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 ! ( 3 n + 5 ) 2 n n ! = 2 n 2 1 n + 1 n ! ( 3 n + 5 ) 2 n n ! = 2 n + 1 3 n + 5 = 2 n + 1 3 n + 5  

Como n ≥ 1 , segue que a n + 1 a n   é positivo. Sendo assim, temos que:

  a n + 1 a n = a n + 1 a n = 2 n + 1 3 n + 5

Passo 3

Então, galera, nós já calculamos a razão a n + 1 a n . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 n + 5 = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 n n 3 + 5 n = lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 n 3 + 5 n

Veja que, quando n fica cada vez maior, o valores de 1 n e 5 n se aproximam cada vez mais de zero. Assim, o numerador da razão a n + 1 a n se aproxima cada vez mais de 2 e o denominador, de 3. Com isso, temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 n 3 + 5 n = 2 3 < 1  

Como o limite é menor 1, o Teste da Razão nos garante que a série dada é absolutamente convergente, portanto converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente pelo Teste da Razão.

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