Enunciado

A função y ( t ) satisfaz a equação diferencial d y d t = y 4 - 6 y 3 + 5 y 2

  1. Quais são as soluções constantes da equação?
  2. Para quais valores de y a função está aumentando?
  3. Para quais valores de y a função está diminuino?

Passo 1

  1. Queremos encontrar as soluções da equação diferencial d y d t = y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 que são constantes, para isso precisamos que d y d t = 0 , portanto:
  2. y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 = 0

    y 2 ( y 2 - 6 y + 5 ) = 0

    y 2 = 0 ou ( y 2 - 6 y + 5 ) = 0

    Então são soluções constantes da equação y = 0 , y = 1 e y = 5

    Passo 2

  3. Precisamos determinar para quais valores de y a nossa função será crescente. Para que isso aconteça precisamos que d y d t > 0 . Então,
  4. y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 > 0

    y 2 ( y 2 - 6 y + 5 ) > 0

    Como y 2   é sempre maior que 0, precisamos apenas analisar o caso em que ( y 2 - 6 y + 5 ) > 0

    Podemos descobrir esse intervalo facilmente ao olharmos o gráfico de y 2 - 6 y + 5 , onde o eixo horizontal corresponde ao eixo y e o vertical ao eixo t.

    Com isso, podemos concluir que ( y 2 - 6 y + 5 ) > 0 quando y < 1 ou y > 5 . Então a função y ( t ) está aumentando justamente quando y < 1 e y > 5 , podemos escrever isso também da seguinte forma: y ∈ - ∞ ,   1 ⨆   ( 5 ,   ∞ )

    Passo 3

  5. Agora nosso objetivo é encontrar para quais valores de y a função é decrescente. Ou seja, d y d t < 0 .

y 4 - 6 y 3 + 5 y 2 < 0

y 2 ( y 2 - 6 y + 5 ) < 0

Como y 2 ≥ 0 , precisamos garantir que ( y 2 - 6 y + 5 ) < 0 para que nossa condição seja satisfeita.

Podemos ver quando isso acontece ao olharmos o gráfico dessa função:

Veja que ( y 2 - 6 y + 5 ) < 0 quando 1 < y < 5

Então a função y(t) será decrescente quando 1 < y < 5 . Também podemos escrever esse mesmo intervalo como y ∈   ] 1,5 [  

Resposta

  1. y = 0 ,   y = 1   e   y = 5  
  2. y < 1 e y > 5
  3. 1 < y < 5
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(a) Programe uma calculadora ou um computador para usar o método de Euler para calcular y 1 , onde y x é a solução do problema de valor inicial d y d x + 3 x 2 y = 6 x 2 y 0 = 3 (i) h = 1 (ii) h = 0,1
Ache a solução completa da equação diferencial (2) d y d t = 6 - 3 x ² ².
Ache a solução completa da equação diferencial (6) d y d x = x + x y - y .
Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (15) d y d x = x 2 - 2 x - 4 ; y = - 6q u a n d ox = 3 .
Ache a solução completa da equação diferencial (9) d y d x = s e c 2 x t g ² y ² .