Enunciado

Seja {bn} uma sequência de números positivos que converge para . Determine se a série dada é absolutamente convergente.

∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n

Passo 1

A série

∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n b n n n

Onde b n > 0 para n ≥ 1

E

lim n → ∞ ⁡ b n = 1 2

Passo 2

Nós vamos, agora, aplicar o teste da razão, note que temos:

a n = - 1 n b n n n

E

a n + 1 = - 1 n + 1 b n n + 1 n + 1

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 b n n + 1 n + 1 ⋅ n - 1 n b n n = lim n → ∞ ⁡ b n n n + 1 = 1 2 ⋅ 1 = 1 2

Passo 3

Como:

1 2 < 1

Então, a série

∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n

É bsolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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