Determine a solução:

b) x¨ + 2x˙ + 2x = 0, x(0) = -1 e x˙(0) = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 2 x ˙ + 2 x = 0 → λ 2 e λ t + 2 λ e λ t + 2 λ + e λ t = e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0

e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0 → λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 2   e   c = 2 , assim:

λ ' e   λ " =   - 2 ± 2 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 ± - 4 2    

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 1 ± 4 i 2 2 = - 1 ± ( 2 i ) 2 2 = - 1 ± 2   2 i = - 1 ± i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

x t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 1   e   β = 1

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e - 1 t A cos ⁡ 1 t + B sin ⁡ 1 t   = e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t  

Passo 4

Agora que temos x t podemos achar os valores de A   e   B usando x 0 e   o   x ˙ ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o x ˙ t .

x ˙ t = d x t d t = d e - t × A cos ⁡ t + B sin ⁡ t   d t =

= - 1 e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t + e - t - A sin ⁡ t + B cos ⁡ t =

= e - t - A cos ⁡ t + B sin ⁡ t + B cos ⁡ t - A sin ⁡ t = e - t cos ⁡ t B - A + sin ⁡ t - A - B

Ou seja, x ˙ t = e - t cos ⁡ t B - A + sin ⁡ t - A - B

Passo 5

Substituindo o 0   em x t   e   x ˙ ( t ) , teremos:

x 0 = e - t × A cos ⁡ t + B sin ⁡ t   = e - 0 A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0   = A × 1 + B × 0 = A → A = - 1

x ˙ 0 = e - t cos ⁡ t B - A + sin ⁡ t - A - B = e - 0 cos ⁡ 0 B - A + sin ⁡ t - A - B

= 1 × B - A + 0 × - A - B =   B - A → B - A = 0 → B = A → B = - 1

Substituindo em x t :

x t = e - t × - 1 cos ⁡ t - 1 sin ⁡ t   = - e - t × cos ⁡ t + sin ⁡ t  

Resposta

x t = - e - t × cos ⁡ t + sin ⁡ t  

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