Resolva a equação

f) y¨ + 2y˙ + 2y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + 2 y ˙ + 2 y = 0 → λ 2 e λ t + 2 λ e λ t + 2 e λ t = e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0

e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0 → λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 2   e   c = 2 , assim:

λ ' e   λ " =   - 2 ± 2 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 ± - 4 2    

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 1 ± 4 i 2 2 = - 1 ± ( 2 i ) 2 2 = - 1 ± 2 2 i = - 1 ± i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

y t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 1   e   β = 1

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

y t = e - 1 t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t  

Resposta

y t = e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t  

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