Resolva a equação ẏ = dy / dt e ÿ = (d^2y) / (dt^2)

h) d^2 y / d t^2 + 5 d y / d t = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + 5 y ˙ = 0 → λ 2 e λ t + 5 λ e λ t = e λ t λ 2 + 5 λ = 0

e λ t λ 2 + 5 λ = 0 → λ 2 + 5 λ = 0 → λ λ + 5 = 0 → λ = 0   e   λ = - 5

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 ≠   λ 2 então podemos reescrever y como sendo:

y t = A e λ 1 t + B e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 0   e   λ 2 = - 5

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

y t = A e 0 t + B e - 5 t   = A + B e - 5 t

Resposta

x t = A + B e - 5 t

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