Enunciado

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = e^(2 t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) - 2 r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 - 2 r) = 0

r^2 - 2 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 - 2 r = 0

r ( r - 2 ) = 0

Temos então

r_1 = 0

r_2 = 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A + B e^(2 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é e^(2 t) .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara, mas temos que o coeficiente de t na nossa exponencial é uma das raízes da solução homogênea então

x_p (t) = a t e^(2 t)

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = a e^(2 t) + 2 a t e^(2 t)

x_p^(' ') (t) = 2 a e^(2 t) + 2 a e^(2 t) + 4 a t e^(2 t) = 4 a e^(2 t) + 4 a t e^(2 t)

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) - 2 overset(˙)(x) = e^(2 t)

4 a e^(2 t) + 4 a t e^(2 t) - 2 (a e^(2 t) + 2 a t e^(2 t)) = e^(2 t)

2 a e^(2 t) = e^(2 t)

Temos então

a = (1)/(2)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = (1)/(2) t e^(2 t)

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A + B e^(2 t) + (1)/(2) t e^(2 t)

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A + B e^(2 t) + (1)/(2) t e^(2 t)

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