Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 1 + x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 0

E supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 6 k A e k x + 9 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 6 k + 9 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 6 ) ± ( 6 ) 2 - 4.1 . 9 2.1

k = - 6 ± 0 2 = - 6 2 ∴ k 1 = k 2 = - 3

Aqui temos duas raízes reais e iguais, então a solução vai ser:

y h x = c 1 e - 3 x + c 2 x e - 3 x

Agora vamos determinar a solução particular?

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = 1 + x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau:

y p x = A x + B

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = A

y p ' ' x = 0

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' + 6 y p ' + 9 y p = x 2

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

0 + 6 . A + 9 A x + B = 1 + x

Reorganizando os termos temos:

x 9 A + 6 A + 9 B = 1 + x

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

9 A = 1 6 A + 9 B = 0

Da primeira equação temos o valor de A :

A = 1 / 9

E da segunda o valor de B :

6 A + 9 B = 0 ∴ 6 .   1 9 + 9 B = 0 ∴ B = 1 / 27

E a solução particular é:

y p x = 1 9 x + 1 27

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y ( x ) = c 1 e - 3 x + c 2 x e - 3 x + 1 9 x + 1 27

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y ( x ) = c 1 e - 3 x + c 2 x e - 3 x + 1 9 x + 1 27

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