Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 3 y ' + 2 y = x 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 3 y ' + 2 y = 0

E supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 3 k A e k x + 2 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 3 k + 2 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 3 ) ± ( 3 ) 2 - 4.1 . 2 2.1

k = - 3 ± 9 - 8 2 = - 3 ± 1 2 ∴ k 1 = - 1   ;     k 2 = - 2

Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:

y h x = c 1 e - x + c 2 e - 2 x

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x 2 , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de segundo grau:

y p x = A x 2 + B x + C

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = 2 A x + B

y p ' ' x = 2 A

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' + 3 y p ' + 2 y p = x 2

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

2 A + 3 . 2 A x + B + 2 A x 2 + B x + C = x 2

Reorganizando os termos temos:

x 2 2 A + x 6 A + 2 B + 2 A + 3 B + 2 C = x 2

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

2 A = 1 6 A + 2 B = 0 2 A + 3 B + 2 C = 0

Da primeira equação tiramos o valor de A :

2 A = 1 ∴ A = 1 / 2

Da segunda equação, temos o valor de B :

6 A + 2 B = 0

Mas A = 1 / 2 :

6   . 1 2 + 2 B = 0 ∴ B = - 3 / 2

E por fim, substituindo os valores de A e B na terceira equação temos o valor de C :

2 A + 3 B + 2 C = 0

2 .   1 2 + 3 . - 3 2 + 2 C = 0

2 C = 9 2 - 1 = 7 2

C = 7 4

Pronto, determinamos os coeficientes A , B e C e a solução particular é:

y p x = 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá no passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4

Se fosse um problema de valor inicial, agora seria a hora de aplicar as condições iniciais! Mas aqui não é o caso! Paramos por aqui =D

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + 1 2 x 2 - 3 2 x + 7 4

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