Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 2 y = s e n 4 x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' - 2 y = 0

E supor uma solução do tipo:

y h x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - 2 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 - 2 = 0 ∴ k = ± 2

Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:

y h x = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = s e n ( 4 x ) , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma combinação de seno e cosseno:

y p x = A c o s 4 x + B s e n ( 4 x )

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = - 4 A s e n 4 x + 4 B c o s ( 4 x )

y p ' ' x = - 16 A c o s 4 x - 16 B s e n ( 4 x )

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' - 2 y p = s e n ( 4 x )

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

- 16 A s e n 4 x - 16 B c o s 4 x - 2 ( A c o s 4 x + B s e n ( 4 x ) ) = s e n ( 4 x )

Reorganizando os termos temos:

cos ⁡ ( 4 x ) - 16 A - 2 A + sin ⁡ 4 x - 16 B - 2 B = sin ⁡ ( 4 x )

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

- 18 A = 0 - 18 B = 1

Daí tiramos os valores de A   e B :

A = 0 ,       B = - 1 18

E a solução particular é:

y p x = - 1 18 sen ⁡ ( 4 x )

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x - 1 18 sen ⁡ ( 4 x )

Se fosse um problema de valor inicial, agora seria a hora de aplicar as condições iniciais! Mas aqui não é o caso! Paramos por aqui =D

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x - 1 18 sen ⁡ ( 4 x )

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