Enunciado

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + x = cos 2 t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) + 2 r e^(r t) + r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 + 2 r + 1) = 0

r^2 + 2 r + 1 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 + 2 r + 1 = 0

(r + 1)^2 = 0

Temos uma situação de duas raízes iguais, então

r_1 = r_2 = - 1

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A e^(- t) + B t e^(- t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é cos 2 t .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, como o coeficiente da primeira derivada não é nulo, vamos supor que a solução particular tem a cara

x_p (t) = a cos 2 t + b sen 2 t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = - 2 a sen 2 t + 2 b cos 2 t

x_p^(' ') (t) = - 4 a cos 2 t - 4 b sen 2 t

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + x = cos 2 t

(- 4 a cos 2 t - 4 b sen 2 t) + 2 (- 2 a sen 2 t + 2 b cos 2 t) + (a cos 2 t + b sen 2 t) = cos 2 t

(- 3 a + 4 b) cos 2 t + (- 4 a - 3 b) sen 2 t = cos 2 t

Temos então o sistema

{[[- 3 a + 4 b = 1],[- 4 a - 3 b = 0]])

Isolando a na segunda equação

4 a = - 3 b

a = - (3)/(4) b

Substituindo na primeira

- 3 a + 4 b = 1

- 3 (- (3)/(4) b) + 4 b = 1

(9)/(4) b + 4 b = 1

(25)/(4) b = 1

b = (4)/(25)

Logo

a = - (3)/(4) ((4)/(25)) = - (3)/(25)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = - (3)/(25) cos 2 t + (4)/(25) sen 2 t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A e^(- t) + B t e^(- t) - (3)/(25) cos 2 t + (4)/(25) sen 2 t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A e^(- t) + B t e^(- t) - (3)/(25) cos 2 t + (4)/(25) sen 2 t

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