Determine a solução geral.

x¨ + 2x˙ + x = cos(2t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + 2 x ˙ + x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + 2 r e r t + r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + 2 r + 1 = 0

r 2 + 2 r + 1 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 + 2 r + 1 = 0

r + 1 2 = 0

Temos uma situação de duas raízes iguais, então

r 1 = r 2 = - 1

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A   e - t + B t   e - t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é cos ⁡ 2 t .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, como o coeficiente da primeira derivada não é nulo, vamos supor que a solução particular tem a cara

x p t = a cos ⁡ 2 t + b sen ⁡ 2 t

Calculando as derivadas

x p ' t = - 2 a sen ⁡ 2 t + 2 b cos ⁡ 2 t

x p ' ' t = - 4 a cos ⁡ 2 t - 4 b sen ⁡ 2 t

Substituindo então na equação

x ¨ + 2 x ˙ + x = cos ⁡ 2 t

- 4 a cos ⁡ 2 t - 4 b sen ⁡ 2 t + 2 - 2 a sen ⁡ 2 t + 2 b cos ⁡ 2 t + a cos ⁡ 2 t + b sen ⁡ 2 t = cos ⁡ 2 t

- 3 a + 4 b cos ⁡ 2 t + - 4 a - 3 b sen ⁡ 2 t = cos ⁡ 2 t

Temos então o sistema

- 3 a + 4 b = 1 - 4 a - 3 b = 0

Isolando a na segunda equação

4 a = - 3 b

a = - 3 4 b

Substituindo na primeira

- 3 a + 4 b = 1

- 3 - 3 4 b + 4 b = 1

9 4 b + 4 b = 1

25 4 b = 1

b = 4 25

Logo

a = - 3 4 4 25 = - 3 25

E a solução particular é dada por

x p t = - 3 25 cos ⁡ 2 t + 4 25 sen ⁡ 2 t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A   e - t + B t   e - t - 3 25 cos ⁡ 2 t + 4 25 sen ⁡ 2 t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A   e - t + B t   e - t - 3 25 cos ⁡ 2 t + 4 25 sen ⁡ 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados