Enunciado

  1. Determine a tangente à curva y = 2 ⋅ t g ( π x / 4 ) em x = 1
  2. Coeficiente angulares de uma curva tangente: Qual o menor valor de coeficiente angular que a curva pode ter no intervalo - 2 < x < 2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Questão direta ao ponto. Quando ela nos pede para determinar a tangente, é determinar a reta tangente. Isto é:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. A questão já nos deu x 0 = 1 , falta descobrirmos y 0 , através de substituição direta na equação da tangente.

Mas e o coeficiente angular m ? Como obteremos? Simples! Vamos utilizar nossos conhecimentos de derivadas! Desta forma, o nosso conhecimento m nada mais é que:

m = y ' x 0 = f ' ( x 0 )

Passo 2

Vamos começar por determinar a coordenada y 0 . Substituindo x = 1 na equação da nossa curva, temos:

y = 2 ⋅ t g π 4 = 2 ⋅ 1 = 2

Logo, y 0 = 2 .

Passo 3

Vamos agora começar a determinar o coeficiente angular m . Para isto, derivaremos a nossa curva.

y ' = 2 ⋅ t g ( π x / 4 ) '

d y d x = 2 ⋅ sec 2 ⁡ π x 4 ⋅ π x 4 '

d y d x = 2 ⋅ sec 2 ⁡ π x 4 ⋅ π 4

d y d x = π 2 ⋅ sec 2 ⁡ π x 4

Passo 4

Vamos substituir o valor x = 1 na equação do coeficiente angular. Assim, obtemos:

d y d x = π 2 ⋅ sec 2 ⁡ π 4 = π 2 ⋅ 1 2 2 2 = π 2 ⋅ 4 2

d y d x = π

Logo, m = π .

Passo 5

Substituindo todos os dados na equação da reta, obtemos:

y - 2 = π x - 1  

y = π x - π + 2

Passo 6

O coeficiente angular vai possuir menor valor quando a função d y / d x possuir um ponto de mínimo. Quando x = 0 , a nossa função possuirá um ponto de mínimo, pois:

sec 2 ⁡ π x 4 = 1 cos 2 ⁡ ( π x 4 )

A função secante ao quadrado possuirá mínimo quando a função cosseno for máximo! Isto ocorre quando x = 4 k , sendo k um número inteiro. No intervalo - 2 < x < 2 , só temos máximo para cosseno, e mínimo para secante, quando x = 0 .

Resposta

  1. y = π x - π + 2
  2. O coeficiente angular terá mínimo em x = 0
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