Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x \* cos(2x + 3y) = y \* sen(x)

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

x cos ⁡ ( 2 x + 3 y ) ' = [ y   s e n ( x ) ] '

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

x ' ⋅ cos ⁡ ( 2 x + 3 y ) + x cos ⁡ ( 2 x + 3 y ) ' = y ' s e n ( x ) + y s e n ( x ) '

cos ⁡ ( 2 x + 3 y ) + x ⋅ - s e n 2 x + 3 y ⋅ ( 2 x + 3 y ) ' = d y d x ⋅ s e n x + y cos ⁡ x

cos ⁡ ( 2 x + 3 y ) - x ⋅ s e n 2 x + 3 y ⋅ 2 + 3 ⋅ d y d x = d y d x ⋅ s e n x + y cos ⁡ x

- 3 x ⋅ s e n 2 x + 3 y ⋅ d y d x - s e n x ⋅ d y d x = y cos ⁡ x - cos ⁡ 2 + 3 y + 2 x   s e n ( 2 x + 3 y )

d y d x = - y cos ⁡ x - cos ⁡ 2 + 3 y + 2 x   s e n ( 2 x + 3 y ) 3 x   s e n 2 x + 3 y + s e n x

Resposta

d y d x = - y cos ⁡ x - cos ⁡ 2 + 3 y + 2 x   s e n ( 2 x + 3 y ) 3 x   s e n 2 x + 3 y + s e n x

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