Enunciado

Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

21) D r [ r 2 + 1 3 2 r 2 + 5 r - 3 2 ]

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, vamos aplicar primeiro a regra do produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d r r 2 + 1 3 2 r 2 + 5 r - 3 2 + r 2 + 1 3 d d r [ 2 r 2 + 5 r - 3 2 ]

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d r r 2 + 1 3

Fazemos a derivada da potência de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada dela:

3 r 2 + 1 2 d d r r 2 + 1

E isso será:

6 r r 2 + 1 2

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d r [ 2 r 2 + 5 r - 3 2 ]

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

2 2 r 2 + 5 r - 3 d d r 2 r 2 + 5 r - 3

Resolvendo a derivada na conta de cima:

2 ( 4 r + 5 )   2 r 2 + 5 r - 3

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d r r 2 + 1 3 2 r 2 + 5 r - 3 2 + r 2 + 1 3 d d r [ 2 r 2 + 5 r - 3 2 ]

6 r r 2 + 1 2 2 r 2 + 5 r - 3 2 + r 2 + 1 3 2 ( 4 r + 5 )   2 r 2 + 5 r - 3

Reescrevendo:

10 r 2 + 1 2 2 r 2 + 5 r - 3 ( 2 r 3 + 4 r 2 - r + 1 )

Resposta

f ' r = 10 r 2 + 1 2 2 r 2 + 5 r - 3 ( 2 r 3 + 4 r 2 - r + 1 )

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