Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 1.6 - Ex. 66c

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desse livro

Determine o valor exato da expressão: c o s - 1 ( 3 2 )

Passo 1

E aí, galera! Seguinte: eu sei que esse “ c o s - 1 ” assusta, mas saiba duas coisas:

  1. Isso não é a mesma coisa que 1 c o s !!
  2. Então o que é? É a mesma coisa que a r c c o s . O que é isso? É o arco que tem determinado valor para cosseno

Calma, que vai ficar mais claro pra você daqui a pouco. Mas antes, preciso que você tenha em mente os arcos fundamentais e seus senos e cossenos correspondentes, ok?

Por exemplo:

30° ( π 6 ) ⇒ s e n   30 °   = 1 2 e c o s   30 °   =   3 2

45°( π 4 ) ⇒ s e n   45 °   = c o s   45 °   =   2 2

60°( π 3 ) ⇒ s e n   60 °   =   3 2 e c o s   60 °   =   1 2

Vamos lembrar outra coisa também:

Saca só esse Círculo Trigonométrico! Tá vendo que, quando você pega um ângulo no sentido anti-horário, o sinal do ângulo é positivo e, quando pega um ângulo no sentido horário, o sinal dele é negativo? Isso é importante. Se você tem dúvidas nessa matéria, sugiro você fazer uma revisãozinha, porque esse conceito é importante.

Só mais uma coisa: o c o s - 1 tem um intervalo específico pra ser válido, que é [ 0 , π ] . Isso se dá porque, fora desse intervalo, a função deixa de ser injetora (quando dois cossenos forem iguais, os ângulos precisam ser iguais. E isso acontece em [ 0 , π ] ) e ela tem que ser injetora porque as injetoras possuem uma função inversa e o c o s - 1 é a função inversa do cosseno.

Agora que revisei isso com você, bora lá?

Passo 2

Bora começar a questão!

O que o nosso problema quer é o c o s - 1 ( 3 2 ) , ou seja, o arco cujo cosseno vale 3 2 .

Agora, precisamos saber onde o cosseno vale 3 2 , entre o intervalo [ 0 , π ] . Nesse caso, é o 30° ( π 6 ). Logo, essa é a resposta!

Resposta

π 6

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