Enunciado

Determine o valor exato da expressão: s e n^(- 1) ( (1)/(sqrt() 2) )

Passo 1

E aí, galera! Seguinte: eu sei que esse “ s e n^(- 1) ” assusta, mas saiba duas coisas:

  1. Isso não é a mesma coisa que (1)/(s e n) !!
  2. Então o que é? É a mesma coisa que a r c s e n . O que é isso? É o arco que tem determinado valor para seno

Calma, que vai ficar mais claro pra você daqui a pouco. Mas antes, preciso que você tenha em mente os arcos fundamentais e seus senos e cossenos correspondentes, ok?

Por exemplo:

30° ( (pi)/(6) ) => s e n 30 ° = (1)/(2) e c o s 30 ° = (sqrt(3))/(2)

45°( (pi)/(4) ) => s e n 45 ° = c o s 45 ° = (sqrt(2))/(2)

60°( (pi)/(3) ) => s e n 60 ° = (sqrt(3))/(2) e c o s 60 ° = (1)/(2)

Vamos lembrar outra coisa também:

Saca só esse Círculo Trigonométrico! Tá vendo que, quando você pega um ângulo no sentido anti-horário, o sinal do ângulo é positivo e, quando pega um ângulo no sentido horário, o sinal dele é negativo? Isso é importante. Se você tem dúvidas nessa matéria, sugiro você fazer uma revisãozinha, porque esse conceito é importante.

Outra coisa: o seno de um ângulo negativo é a mesma coisa que menos o seno do mesmo ângulo só que com sinal positivo (ou seja, s e n ( - x ) = - s e n x ).

Só mais uma coisa: o s e n^(- 1) tem um intervalo específico pra ser válido, que é [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ] . Isso se dá porque, fora desse intervalo, a função deixa de ser injetora (quando dois senos forem iguais, os ângulos precisam ser iguais. E isso acontece em [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ] ) e ela tem que ser injetora porque as injetoras possuem uma função inversa e o s e n^(- 1) é a função inversa do seno.

Agora que revisei isso com você, bora lá?

Passo 2

Sem mais delongas, vamos começar a questão.

O que o nosso problema quer é o s e n^(- 1) ( (1)/(sqrt() 2) ) , ou seja, o arco cujo seno vale (1)/(sqrt() 2) . Antes de resolver, precisamos tirar essa raiz do denominador. Racionalizando a fração (ou seja, multiplicando em cima e embaixo por sqrt(2) ) , chegamos em (1)/(sqrt() 2) = (sqrt(2))/(2) . Agora, precisamos saber onde o seno vale (sqrt(2))/(2) , entre o intervalo [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ] . Nesse caso, é o 45° ( (pi)/(4) ).

Resposta

(pi)/(4)

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