Enunciado

Determine o valor exato da expressão: a r c s e n^() ( - (1)/(sqrt(2)) )

Passo 1

E aí, galera! Seguinte: eu sei que esse “ a r c s e n ” assusta, mas é apenas “o arco cujo seno vale determinado valor” e que é a mesma coisa que s e n^(- 1) ,ok? Calma, que vai ficar mais claro pra você daqui a pouco. Mas antes, preciso que você tenha em mente os arcos fundamentais e seus senos e cossenos correspondentes, ok?

Por exemplo:

30° ( (pi)/(6) ) => s e n 30 ° = (1)/(2) e c o s 30 ° = (sqrt(3))/(2)

45°( (pi)/(4) ) => s e n 45 ° = c o s 45 ° = (sqrt(2))/(2)

60°( (pi)/(3) ) => s e n 60 ° = (sqrt(3))/(2) e c o s 60 ° = (1)/(2)

E:

s e n ( pi // 2 ) = s e n ( - 3 pi // 2 ) = 1

s e n ( 3 pi // 2 ) = s e n ( - pi // 2 ) = - 1

s e n pi = s e n 2 pi = s e n ( - pi ) = 0

Vamos lembrar outra coisa também:

Saca só esse Círculo Trigonométrico! Tá vendo que, quando você pega um ângulo no sentido anti-horário, o sinal do ângulo é positivo e, quando pega um ângulo no sentido horário, o sinal dele é negativo? Isso é importante. Se você tem dúvidas nessa matéria, sugiro você fazer uma revisãozinha, porque esse conceito é importante.

Só mais uma coisa: o a r c s e n^() tem um intervalo específico pra ser válido, que é [ - pi // 2 , pi // 2 ] . Isso se dá porque, fora desse intervalo, a função deixa de ser injetora (quando dois senos forem iguais, os ângulos precisam ser iguais. E isso acontece em [ - pi // 2 , pi // 2 ] ) e ela tem que ser injetora porque as injetoras possuem uma função inversa e o a r c s e n^() é a função inversa do seno.

Agora que revisei isso com você, bora lá?

Passo 2

Bora começar a questão!

O que o nosso problema quer é o a r c s e n^() ( - (1)/(sqrt(2)) ) , ou seja, o arco cujo seno vale - (1)/(sqrt(2)) . Mas o que é - (1)/(sqrt(2)) ? Pra tirar essa raiz aí do denominador, precisamos racionalizar a fração, ou seja, multiplicar em cima e em baixo por sqrt(2) . Vai ficar: - (1)/(sqrt(2)) = - (sqrt(2))/(2)

Agora, precisamos saber onde o seno vale - (sqrt(2))/(2) , entre o intervalo [ - pi // 2 , pi // 2 ] . Nesse caso, é o - (pi)/(4) . Logo, essa é a resposta!

Resposta

- (pi)/(4)

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Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = 8 x 3
Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = 3 x + 4 2 x + 6
A função f x = e x + x , sendo derivável e injetora, tem uma inversa derivável f - 1 x . Determine o valor de d f - 1 / d x no ponto f ( ln ⁡ 2 ) .
Determine a inversa da função f x = 1 + 1 x , x ≠ 0 . Em seguida, mostre que f - 1 f x = f f - 1 x = x e que d f - 1 d x ​ f x = 1 f ' x .
O que é uma função um a um?A partir do gráfico, como dizer se uma função é um a um?