Determine o valor exato da expressão: sen^(-1)(1/raiz(2))

Passo 1

E aí, galera! Seguinte: eu sei que esse “ s e n - 1 ” assusta, mas saiba duas coisas:

  1. Isso não é a mesma coisa que 1 s e n !!
  2. Então o que é? É a mesma coisa que a r c s e n . O que é isso? É o arco que tem determinado valor para seno

Calma, que vai ficar mais claro pra você daqui a pouco. Mas antes, preciso que você tenha em mente os arcos fundamentais e seus senos e cossenos correspondentes, ok?

Por exemplo:

30° ( π 6 ) ⇒ s e n   30 °   = 1 2 e c o s   30 °   =   3 2

45°( π 4 ) ⇒ s e n   45 °   = c o s   45 °   =   2 2

60°( π 3 ) ⇒ s e n   60 °   =   3 2 e c o s   60 °   =   1 2

Vamos lembrar outra coisa também:

Saca só esse Círculo Trigonométrico! Tá vendo que, quando você pega um ângulo no sentido anti-horário, o sinal do ângulo é positivo e, quando pega um ângulo no sentido horário, o sinal dele é negativo? Isso é importante. Se você tem dúvidas nessa matéria, sugiro você fazer uma revisãozinha, porque esse conceito é importante.

Outra coisa: o seno de um ângulo negativo é a mesma coisa que menos o seno do mesmo ângulo só que com sinal positivo (ou seja, s e n   ( - x )   =   -   s e n   x ).

Só mais uma coisa: o s e n - 1 tem um intervalo específico pra ser válido, que é [ - π 2 ,   π 2 ] . Isso se dá porque, fora desse intervalo, a função deixa de ser injetora (quando dois senos forem iguais, os ângulos precisam ser iguais. E isso acontece em [ - π 2 ,   π 2 ] ) e ela tem que ser injetora porque as injetoras possuem uma função inversa e o s e n - 1 é a função inversa do seno.

Agora que revisei isso com você, bora lá?

Passo 2

Sem mais delongas, vamos começar a questão.

O que o nosso problema quer é o s e n - 1 ( 1 2 ) , ou seja, o arco cujo seno vale 1 2 . Antes de resolver, precisamos tirar essa raiz do denominador. Racionalizando a fração (ou seja, multiplicando em cima e embaixo por 2 ) , chegamos em 1 2 = 2 2 . Agora, precisamos saber onde o seno vale 2 2 , entre o intervalo [ - π 2 ,   π 2 ] . Nesse caso, é o 45° ( π 4 ).

Resposta

π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados