Determine o valor exato da função

a) sen(2\*pi/3)

b) cos(5pi / 4)

c) tg(-5pi/6)

d) cotg(13pi / 12)

e) sec pi

f) cosec(-pi/8)

Passo 1

Letra a .

Ele quer o seno do ângulo 2 π 3 , a primeira coisa que temos que fazer é achar esse ponto nos quadrantes.

2 π 3 = 120 °

Colocando esse ponto no ciclo trigonométrico, vamos ter:

Opa, está no segundo quadrante, então o seno dele vai ser igual ao seno de quanto falta para chegar em 180 ° , que é fazer π menos o nosso ângulo.

sen ⁡ 2 π 3 = sen ⁡ π - 2 π 3 = sen ⁡ π 3

Lembrando que

π 3 = 60 °

sen ⁡ 2 π 3 = sen ⁡ π 3 = 3 2

Passo 2

Letra b .

Ele quer o cosseno do ângulo 5 π 4 , a primeira coisa que temos que fazer é achar esse ponto nos quadrantes.

5 π 4 = 225 °

Colocando esse ponto no ciclo trigonométrico, vamos ter:

Opa, está no terceiro quadrante, então o cosseno dele vai ser igual à menos o cosseno de quanto passou de 180 ° , que é fazer o nosso ângulo menos π

cos ⁡ 5 π 4 = - cos ⁡ 5 π 4 - π = - cos ⁡ π 4

Lembrando que

π 4 = 45 °

cos ⁡ 5 π 4 = - cos ⁡ π 4 = - 2 2

Passo 3

Letra c .

Ele quer a tangente do ângulo - 5 π 6 , a primeira coisa que temos que fazer é achar esse ponto nos quadrantes.

- 5 π 6 = - 150 °

Colocando esse ponto no ciclo trigonométrico, vamos ter:

Opa, está no terceiro quadrante, então a tangente dele vai ser igual à tangente de quanto passou de 180 ° , como o ângulo é negativo devemos somar π .

tg ⁡ - 5 π 6 = tg ⁡ - 5 π 6 + π = tg ⁡ π 6

Lembrando que

π 6 = 30 °

tg ⁡ - 5 π 6 = tg ⁡ π 6 = 3 3

Passo 4

Letra d .

Ele quer a cotangente do ângulo 13 π 12 , a primeira coisa que temos que fazer é achar esse ponto nos quadrantes.

13 π 12 = 195 °

Colocando esse ponto no ciclo trigonométrico, vamos ter:

Opa, está no terceiro quadrante. Para analisarmos a cotangente, temos que ter em mente que:

cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x

Então ela tem o mesmo comportamento da tangente.

A cotangente dele vai ser igual à cotangente de quanto passou 180 ° , que é fazer o nosso ângulo menos π

cotg ⁡ 13 π 12 = cotg ⁡ 13 π 12 - π = cotg ⁡ π 12

Lembrando que

π 12 = 15 °

Mas esse ângulo não é nenhum dos notáveis. O que fazer agora?

Temos que tentar achar 15 ° a partir de 30 ° , 45 ° , 60 ° .

Passo 5

Repare que:

15 ° = 45 ° - 30 °

Entao devemos fazer

cotg ⁡ π 12 = cotg ⁡ π 4 - π 6 = 1 tg ⁡ π 4 - π 6

Temos que:

tg ⁡ π 4 - π 6 = tg ⁡ π 4 - tg ⁡ π 6 1 + tg ⁡ π 4 tg ⁡ π 6 = 1 - 3 3 1 + 1 . 3 3 = 1 - 3 3 1 + 3 3 = 3 - 3 3 3 + 3 3 = 3 - 3 3 + 3

Logo:

cotg ⁡ 13 π 12 = cotg ⁡ π 12 = 3 + 3 3 - 3

Passo 6

Letra e .

sec ⁡ π

Ele quer a secante do ângulo π , aqui não precisamos nos preocupar com que quadrante vamos ter, porque o π é um ângulo notável.

Vamos lembrar que:

sec ⁡ π = 1 cos ⁡ π

E

cos ⁡ π = - 1

Então:

sec ⁡ π = 1 cos ⁡ π = 1 - 1 = - 1

Passo 7

Letra f .

Ele quer a cossecante do ângulo - π 8 , a primeira coisa que temos que fazer é achar esse ponto nos quadrantes.

- π 8 = - 22,5 °

Colocando esse ponto no ciclo trigonométrico, vamos ter:

Opa, está no quarto quadrante.

Para analisarmos a cossecante, temos que ter em mente que:

co sec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Então ela tem o mesmo comportamento do seno.

A cossecante dele vai ser igual à menos a cossecante de quanto falta para chegar em 360 ° , que é fazer 0 menos o nosso ângulo.

cosec ⁡ - π 8 = - cosec ⁡ 0 - - π 8 = - cosec ⁡ π 8

Lembrando que

π 8 = 22,5 °

Mas esse ângulo não é nenhum dos notáveis. O que fazer agora?

Temos que tentar achar 22,5 ° a partir de 30 ° , 45 ° , 60 ° .

Passo 8

Repare que:

22,5 ° = 45 ° 2

Entao devemos usar:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sen 2 ⁡ x

Usando x = π 8 , vamos ter:

cos ⁡ π 4 = 1 - 2 sen 2 ⁡ π 8

2 2 = 1 - 2 sen 2 ⁡ π 8

2 sen 2 ⁡ π 8 = 1 - 2 2

2 sen 2 ⁡ π 8 = 2 - 2 2

sen 2 ⁡ π 8 = 2 - 2 4

sen ⁡ π 8 = 2 - 2 4

sen ⁡ π 8 = 2 - 2 2

Temos que:

cosec ⁡ - π 8 = - cosec ⁡ π 8 = - 1 sen ⁡ π 8 = - 2 2 - 2

Resposta

Letra a

sen ⁡ 2 π 3 = 3 2

Letra b

cos ⁡ 5 π 4 = - 2 2

Letra c

tg ⁡ - 5 π 6 = 3 3

Letra d

cotg ⁡ 13 π 12 = 3 + 3 3 - 3

Letra e

sec ⁡ π = - 1

Letra f

cosec ⁡ - π 8 = - 2 2 - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados