Determine o valor médio de ln x em [1, e] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

Assim, temos:

f c = 1 e - 1   ∫ 1 e ln ⁡ x d x = 1 e - 1 [   x ln ⁡ x - x ] e 1

Passo 2

Agora devemos substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo:

1 e - 1 [   x ln ⁡ x - x ] e 1 = 1 e - 1   [ e ln ⁡ e - e - ( 1 ln ⁡ 1 - 1 ) ] = 1 e - 1  

Resposta

1 e - 1

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