Enunciado

Determine o valor médio de ln x em [ 1 , e ] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f (c) = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Assim, temos:

f (c) = (1)/(e - 1) int_1^e (ln x) d x = (1)/(e - 1) [ x ln x - x ] (e)/(1)

Passo 2

Agora devemos substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo:

(1)/(e - 1) [ x ln x - x ] (e)/(1) = (1)/(e - 1) [ (e ln e - e) - ( 1 ln 1 - 1 ) ] = (1)/(e - 1)

Resposta

(1)/(e - 1)

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