Enunciado

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

34 – A região no primeiro quadrante limitada pela curva x   =   y   –   y 3 ,   x = 1   e   y = 1 e pelo eixo y em torno

C – Da reta x = 1.

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo y:

x = y - y 3

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 1

Passo 2

Fórmula do método do anel:

V = π ∫ a b R y 2 - r y 2   d y ,   p a r a   R y 2 = 1   e   r y 2 = y - y 3

Para a reta x = 1

Inserindo na fórmula teremos:

V = π ∫ 0 1 1 - y - y 3 - 0 2   d y

V = π ∫ 0 1 1 + y 2 + y 6 - 2 y + 2 y 3 - 2 y 4 d y  

Resolvendo a integral teremos:

π y + y 3 3 + y 7 7 - 2 y 2 2 + 2 y 4 4 - 2 y 5 5 0 1 π y + y 3 3 + y 7 7 - y 2 + y 4 2 - 2 y 5 5 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

π 1 + 1 3 + 1 7 - 1 + 1 2 - 2 5 - 0  

Resolvendo:

π 121 210 = 121 π 210   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

121 π 210   u . v .

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