Enunciado

  1. Encontre o valor médio de f no dado intervalo.
  2. Encontre c cujo f m e d = f ( c )
  3. Esboce o gráfico de f e o retângulo cuja área é a mesma da área abaixo do gráfico de f

2 x e - x 2 ,                         0 , 2

Passo 1

(a) Pessoal, nesta seção nos é dado o conceito de valor médio da função em um intervalo [a,b]. Ele é o seguinte:

f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

Então, para resolver o exercício devemos substituir o valor da função e seu intervalo na equação dada:

f m e d = 1 2 - 0 ∫ 0 2 2 x e - x 2 d x

f m e d = ∫ 0 2 x e - x 2 d x

Primeiramente, vamos fazer uma substituição de variável (de modo muito estratégico rsrs). Seja:

u = - x 2  

d u = - 2 x d x

Aplicando na integral (Vamos esquecer o intervalo por agora):

f m e d = ∫ - e u 2 d u

f m e d = - e u 2

Substituindo o valor de ( u = - x 2   ) e aplicando o intervalo [0,2]:

f m e d = - 1 2 e - x 2   2 0

f m e d = - 1 2 1 e 4 - 1 = 1 2 - 1 2 e 4

f m e d = e 4 - 1 2 e 4

Passo 2

(b) Agora temos que achar um valor c tal que f c = f m e d . Vamos aplicar esta igualdade:

2 c e - c 2 = e 4 - 1 2 e 4

4 c e 4 - c 2 - e 4 + 1 = 0

Para encontrar as raízes desta equação, será necessário o uso de um software computacional. A partir deles temos que:

c ≈ 0,263

c ≈ 1,287

Passo 3

(c) A área abaixo do gráfico vale:

A = ∫ 0 2 2 x e - x 2 ≈ 0,98

A área do retângulo deve ser a mesma, então:

A = 0,98 = f ( c ) ( 2 - 0 )

f c = 0,49

Resposta

  1. f m e d = e 4 - 1 2 e 4
  2. c ≈ 0,263

c ≈ 1,287

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