Determine o valor médio de y = raiz(3x) em [0, 3] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

Assim, temos:

f c = 1 3 - ( 0 )   ∫ 0 3 3 x   d x = 1 3 ∫ 0 3 3 x   d x

Passo 2

Agora devemos integrar e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Logo:

1 3 ∫ 0 3 3 x   d x =   1 3 ∫ 0 3 3 x 1 2   d x = 1 3 ( 3 x 3 2 3 2 ) 0 3 = 2 9 3 × 3 3 2 - 3 × 0 3 2    

2 9 9 3 = 2 9 3 6 = 2 9 27 = 6

Resposta

6

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