Enunciado

22. Determine o valor de a para o qual a região limitada pela cardioide r = a 1 - c o s θ tem uma área de 9 π unidades de área.

Passo 1

Para encontrarmos o valor de a, basta calcularmos a área da equação dada e igualarmos ao valor dado no enunciado.

Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 até π , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . ( 1 2 ∫ 0 π a ( 1 - c o s θ 2 d θ ) = ∫ 0 π a 2 1 - c o s θ 2 d θ

a 2 ∫ 0 π ( 1 - 2 c o s θ + cos 2 ⁡ θ ) d θ = a 2 ∫ 0 π 1 - 2 c o s θ + 1 2 1 + c o s 2 θ d θ = 3 π a 2 2

Passo 4

Como A = 9 π , então temos que :

9 π = 3 π a 2 2

a 2 = 6

a = 6

Resposta

a = 6

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