Enunciado

A órbita de um planeta é elíptica com equação r = p 1 + e cos ⁡ θ onde o Sol está na origem. Ache a distância média entre o planeta e o Sol em relação a θ .

Passo 1

A questão quer saber o valor médio de r ( θ ) , onde

r θ = p 1 + e cos ⁡ θ

É importante lembrar que a valor médio de uma função f num intervalo a ,   b é

f - = 1 b - a ∫ a b f x   d x

Neste caso, a integral será feita em θ , mas note que não precisamos integrar no intervalo de 0 a 2 π : como a elipse é simétrica entre os intervalos [ 0 ,   π ] e [ π ,   2 π ] , basta usarmos o primeiro intervalo:

r - = 1 π - 0 ∫ 0 π r θ   d θ

Assim,

r - = 1 π ∫ 0 π p 1 + e cos ⁡ θ   d θ

Passo 2

Para resolver essa integral, aconselho você dar uma olhadinha no teorema 9.7.1 da seção 9.7 que usa a substituição z = tan ⁡ θ 2 . Nessa substituição:

cos ⁡ θ = 1 - z 2 1 + z 2

d θ = 2 1 + z 2 d z

Quando θ = 0 , temos que z = 0 ; já para θ = π , temos que z = tan ⁡ π 2 → + ∞ . Assim, temos que

r - = p π ∫ 0 ∞ 1 1 + e 1 - z 2 1 + z 2 ⋅ 2 1 + z 2   d z

Portanto,

r - = p π ∫ 0 ∞ 2 1 + z 2 + e ( 1 - z 2 )   d z = 2 p π ∫ 0 ∞ 1 1 + e + 1 - e z 2   d z

Assim,

r - = 2 p π   1 - e   ∫ 0 ∞ 1 z 2 + 1 + e 1 - e   d z = 2 p π 1 - e ⋅ I ,

onde

I = ∫ 0 ∞ 1 z 2 + 1 + e 1 - e   d z = ∫ 0 ∞ 1 z 2 + a 2 d z ,                 a = 1 + e 1 - e

Como se trata de uma elipse, temos que 0 < e < 1 , de modo que 1 + e 1 - e > 0 .

Passo 3

Para acharmos I vamos fazer a substituição z = a x , com d z = a   d x :

I = ∫ 0 ∞ 1 z 2 + a 2 d z = ∫ 0 ∞ 1 a 2 ( x 2 + 1 ) ⋅ a   d x = 1 a ∫ 0 ∞ 1 1 + x 2   d x

A primitiva dessa integral é arco tangente:

I = 1 a arctan ⁡ x 0 ∞ = 1 a arctan ⁡ ∞ - arctan ⁡ 0

Sei que rigorosamente eu devia ter feito lim t → ∞ ⁡ arctan ⁡ t = π 2 no lugar de arctan ⁡ ∞ , mas nessa altura isso é o de menos...

Assim,

I = 1 a ⋅ π 2 = π 2 1 - e 1 + e

Desta forma,

r - = 2 p π 1 - e ⋅ I = 2 p π 1 - e ⋅ π 2 1 - e 1 + e

Logo, chegamos que o valor médio de r é

r - = p 1 - e 2

Resposta

p 1 - e 2

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