Enunciado

Determine os valores extremos de f   sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ,     x - y = 1 ,         y 2 - z 2 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z =   μ ∇ h x , y , z

No nosso caso aqui temos:

2 x ,   2 y ,   2 z = λ 1 , - 1,0 + μ ( 0,2 y , - 2 z )

Beleza, daqui a gente tira que:

2 x = λ

2 y =   - λ + 2 y μ

2 z =   - 2 z μ

E precisamos que

    x - y = 1

y 2 - z 2 = 1

Passo 2

De 2 z =   - 2 z μ , temos que z = 0 ou μ = - 1 .

Se z = 0 , jogamos na restrição e temos:

y 2 = 1 → y = ± 1

E aí temos x - y = 1 → x = 2   o u   x = 0

Temos os pontos 0 , - 1,0 e   ( 2,1 , 0 ) .

Passo 3

Vamos considerar agora que μ = - 1 :

2 y =   - λ + 2 y μ → 2 y = - λ - 2 y

4 y =   - λ

λ =   - 4 y = 2 x

x = - 2 y

Substituímos em x - y = 1 ...

- 2 y - y = 1 → - 3 y = 1 → y = - 1 3

E aí o z ...

- 1 3 2 - z 2 = 1

1 9 - z 2 = 1

z 2 = - 8 9     n ã o   é   p o s s í v e l

Então, descartamos essa possibilidade e ficamos com z = 0 mesmo!

Passo 4

Nossos pontos possíveis são somente 0 , - 1,0 e   ( 2,1 , 0 ) mesmo. Vamos ver o valor deles na função f ...

f 0 , - 1,0 = 1

f 2,1 , 0 = 5

O valor mínimo da função nessas restrições então é 1 e o maior é 5 .

Resposta

1   e   5

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