Enunciado

5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

19. f x ,   y = y 2 - 2 y . cos ⁡ x ,   - 1 ≤ x ≤ 7

Passo 1

Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:

f x = 2 y . s e n   x

f y = 2 y - 2 . cos ⁡ x

Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:

f x x = 2 y . cos ⁡ x

f y y = 2

Para f x = 0 , o que tem que acontecer é que y = 0 ou s e n   x = 0 , não é mesmo? Para a nossa restrição, que é - 1 ≤ x ≤ 7 , para s e n   x = 0 então x = 0 ,   x = π   o u   x = 2 π .

Para f y = 0 , o que tem que acontecer é que y = cos ⁡ x . Sendo assim, para y = 0 , então x = π 2   o u   x = 3 π 2 .

Passo 2

Agora que encontramos algumas condições, vamos testa-las, tudo bem? Se s e n   x = 0 , então isso implica que cos ⁡ x = ± 1 , ou seja, y = ± 1 também! Para cos ⁡ x = ± 1 então x = 2 k π , logo os pontos críticos serão:

π 2 ,   0 ,   2 π ,   1 ,   π ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   3 π 2 ,   0

Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em D , que é dado da seguinte forma:

D x ,   y = f x x . f y y - f x y x ,   y 2

Mas quem é f x y ? Como já calculamos f x , então f x y será:

f x y = 2 . s e n   x

D x ,   y = 4 y . cos ⁡ x - 2 . s e n   x 2

Passo 3

Se testarmos os pontos críticos em D , teremos:

D π 2 ,   0 = D 3 π 2 ,   0 = 0 - 4 = - 4 < 0

O resultado implica em pontos de sela.

D 0 ,   1 = D π ,   - 1 = D 2 π ,   1 = 4 > 0

Ademais, temos que:

f x x = 2 > 0

O resultado implica em mínimos locais. Logo, os pontos são ( 0 ,   1 ) e 2 π ,   1 . E esses são os nossos pontos de máximos e mínimos locais!

Resposta

Pontos críticos:   π 2 ,   0 ,   2 π ,   1 ,   π ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   3 π 2 ,   0

Pontos de sela: π 2 ,   0 ,   3 π 2 ,   0

Pontos de mínimo: π ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 π ,   1

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