Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 19
5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
19.
Passo 1
Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:
Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:
Para , o que tem que acontecer é que ou , não é mesmo? Para a nossa restrição, que é , para então .
Para , o que tem que acontecer é que . Sendo assim, para , então .
Passo 2
Agora que encontramos algumas condições, vamos testa-las, tudo bem? Se , então isso implica que , ou seja, também! Para então , logo os pontos críticos serão:
Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em , que é dado da seguinte forma:
Mas quem é ? Como já calculamos , então será:
Passo 3
Se testarmos os pontos críticos em , teremos:
O resultado implica em pontos de sela.
Ademais, temos que:
O resultado implica em mínimos locais. Logo, os pontos são e . E esses são os nossos pontos de máximos e mínimos locais!
Resposta
Pontos críticos:
Pontos de sela:
Pontos de mínimo: