Enunciado

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t - 2 sen ⁡ t ,   y = 1 - 2 cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 4 π

Passo 1

Vamos derivar x = t - 2 sen ⁡ t :

d x d t = 1 - 2 cos ⁡ t

E agora, derivar   y = 1 - 2 cos ⁡ t :

d y d t = 2 sen ⁡ t

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = 1 - 2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2 = 1 - 4 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t = 5 - 4 cos ⁡ t

Passo 2

Então, escrevendo a integral, temos que:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

O intervalo dado é 0 ≤ t ≤ 4 π . Assim,

L = ∫ 0 4 π 5 - 4 cos ⁡ t d t ≈ 26,7298

Resposta

≈ 26,7298

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