Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 17
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...
Temos a interseção de uma superfície tipo sela ) com um cilindro ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que admite extremos absolutos sujeita às restrições!
Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como
Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:
Os gradientes são:
Assim,
Podemos escrever essa equação como
Passo 2
Da primeira equação, tiramos
Todavia, como a equação deve ser satisfeita (uma das restrições), . Assim, temos que . Assim, as demais equações do sistema são reescitas como:
Substituindo dado pela primeira equação na seguna:
Como , segue que
Assim,
Desta forma, na equação do cilindro:
Desta forma, os candidatos a extremos serão quatro:
Passo 3
Sabendo que , calculamos:
Assim, o máximo é e o mínimo é .
Resposta
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