Enunciado

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = y z + x y ;                           x y = 1 ,             y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de f sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...

Temos a interseção de uma superfície tipo sela ( x y = 1 ) com um cilindro ( y 2 + z 2 = 1 ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como f é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que f admite extremos absolutos sujeita às restrições!

Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como

g x , y , z = x y - 1 = 0

h x , y , z = y 2 + z 2 - 1 = 0

Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:

∇ f = λ   ∇ g + μ ∇ h

Os gradientes são:

∇ f x , y , z = ( y ,   x + z ,   y )

∇ g x , y , z = ( y ,   x ,   0 )

∇ h x , y , z = ( 0 ,   2 y ,   2 z )

Assim,

y ,   x + z ,   y = λ   y ,   x ,   0 + μ   ( 0 ,   2 y ,   2 z )

Podemos escrever essa equação como

y λ = y x λ + 2 y μ = x + z 2 z μ = y

Passo 2

Da primeira equação, tiramos

y λ - 1 = 0 ⇒ y = 0         o u         λ = 1

Todavia, como a equação x y = 1 deve ser satisfeita (uma das restrições), y ≠ 0 . Assim, temos que λ = 1 . Assim, as demais equações do sistema são reescitas como:

2 y μ = z 2 z μ = y

Substituindo z dado pela primeira equação na seguna:

2 ⋅ 2 y μ ⋅ μ = y ⇒ y 1 - 4 μ 2 = 0

Como y ≠ 0 , segue que

1 - 4 μ 2 = 0 ⇒ μ = ± 1 2

Assim,

y = ± z

Desta forma, na equação do cilindro:

2 y 2 = 1 ⇒ y = ± 1 2 ⇒ x = 1 y = ± 2

Desta forma, os candidatos a extremos serão quatro:

- 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 ,           - 2 ,   - 1 2 , 1 2 ,           2 , 1 2 ,   - 1 2         e           2 , 1 2 , 1 2

Passo 3

Sabendo que f x , y , z = y z + x y , calculamos:

f - 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 = 1 2 + 1 = 3 2

f - 2 ,   - 1 2 , 1 2 = - 1 2 + 1 = 1 2

f 2 , 1 2 ,   - 1 2 = - 1 2 + 1 = 1 2

f 2 , 1 2 , 1 2 = 1 2 + 1 = 3 2

Assim, o máximo é 3 / 2 e o mínimo é 1 / 2 .

Resposta

f - 2 ,   - 1 2 , 1 2 = f 2 ,   1 2 , - 1 2 = 1 2     →     m í n i m o

f - 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 = f 2 , 1 2 , 1 2 = 3 2   →         m á x i m o

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(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade f x , y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y ;x 2 + y 2 ≤ 9