Enunciado

Use os gráficos de

x = f ( t )

y = g ( t )

Para esboçar a curva paramétrica

x = f ( t )

y = g ( t )

Indique com setas a direção na qual a curva é traçada à medida que t aumenta.

Passo 1

Olhando para os gráficos de x e y , dá pra ver de cara que quando t = 1 , temos o ponto

x , y = ( 0 , 0 )

Quando t = 0 , temos o ponto

x , y = ( 0 , 1 )

Quando t = - 1 temos o ponto

x , y = ( 0 , 0 )

Além disso, quando t > 1 tanto x quanto y tendem a diminuir e assumir valores cada vez mais negativos.

E quando t < - 1 , x tende a crescer assumindo valores cada vez maiores e positivos e y tende a diminuir, assumindo valores cada vez menores (maiores em módulo, porém negativos).

Passo 2

Dito isso, vamos começar plotando os dois pontos que temos certeza:

Com isso já da pra gente saber o sentido da curva, certo?

0 , 0 → 1,0 → ( 0 , 0 )

E dai a gente conclui que a curva passa duas vezes no mesmo lugar, ou seja, ela faz um looping na origem.

Acontece que isso e e as outras coisas que dissemos no passo 1 sobre o que acontece quando t > 1 e quando t < - 1 a gente ainda não consegue saber exatamente como que a curva faz isso, porque nossos dois pontos estão sobre a mesma reta.

Vamos então tentar ver uns outros valores para t e com isso achar mais ou menos uns outros pontos ( x , y ) , plotar esses pontos e aí sim ver a cara que nossa curva toma.

Passo 3

Vamos olhar nossos gráficos de novo:

Se pegarmos t = 0,5 , temos mais ou menos o ponto

x , y = ( 0,4 ; 0,9 )

Agora t = - 0,5 :

x , y = ( - 0,4 ; 0,9 )

Vamos pegar agora t = 1,5 :

x , y = ( - 1 ; - 1 )

E, pela simetria, para t = - 1,5 :

x , y = ( 1 , - 1 )

Acho que já tá bom né?

Vamos plotar esses pontos. Vou numerar também a ordem em que a curva tem que passar em cada ponto de acordo com o valor de t . Depois a gente liga tudo.

Agora se a gente ligar todos eles, teremos uma curva mais ou menos assim:

Resposta

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