Enunciado

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = senh ⁡ x

Passo 1

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = senh ⁡ x ⇒ f 0 = 0

f ' x = cos h ⁡ x ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = senh ⁡ x ⇒ f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = cosh ⁡ x ⇒ f ' ' ' 0 = 1

f ' ' ' ' x = senh ⁡ x ⇒ f ' ' ' ' ( 0 ) = 0

Podemos perceber o padrão, de forma geral para as derivadas pares f 2 n 0 = 0 e para as ímpares f 2 n + 1 0 = 1 .

Passo 2

Então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x 2 ( n + 1 ) + 1 ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) ! ⋅ ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 3 ( 2 n + 3 ) ! ⋅ ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1

= lim n → ∞ ⁡ x 2 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) = 0

O limite é 0 < 1 para todo x então a série de Maclaurin para o senh ⁡ x converge para todo x , portanto seu raio é infinito.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

R = ∞

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