Enunciado

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Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1

Passo 1

Primeiro passao é desenharmos essa região. x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1 , temos que:

Passo 2

Assim, podemos escrever a integral da seguinte forma:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y d y d x

Gora, basta calcular.

Passo 3

Como temos uma integral dupla, começamos resolvendo de fora para dentro, então:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y d y d x = ∫ 0 1 y - x y - y 2 2 0 1 d x = ∫ 0 1 1 - x 2 - 1 2 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 d x = - 1 6 1 - x 3 0 1 = 1 6

Resposta

1 6

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