Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x 2 e x = y 2

Passo 1

Olhando para a região D

Podemos escrevê-la como uma região dos dois tipos, basta que achemos a intersecção, neste caso, vamos isolar uma das variáveis em uma das equações dadas, vamos utilizar y = x 2 e isolar y na equação x = y 2

x = y 2

y = ± x

Substituindo na outra equação

y = x 2

± x = x 2

Como x 2 só assume valores positivos

x = x 2

Elevando os dois lados ao quadrado temos

x = x 4

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Temos então que

x 1 = 0

E

x 3 - 1 = 0

x 3 = 1

x 2 = 1

Substituindo em y = x 2 para encontrar os pontos

y 1 = 0

y 2 = 1

Então os pontos de intersecção são ( 0,0 ) e ( 1,1 ) e podemos escrever D como

D = x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,   x 2 ≤ y ≤ x }

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x 2 + y 2 na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x 2 + y 2 ) d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 1 x 2 y + y 3 3 y = x 2 y = x d x

= ∫ 0 1 x 2 x + x 3 3 - x 4 - x 6 3 d x = ∫ 0 1 x 5 / 2 + x 3 / 2 3 - x 4 - x 6 3 d x

Agora em x

= x 7 / 2 7 / 2 + x 5 / 2 1 5 / 2 - x 5 5 - x 7 21 0 1 = 2 x 7 / 2 7 + 2 x 5 / 2 1 5 - x 5 5 - x 7 21 0 1

= 2 7 + 2 15 - 1 5 - 1 21 = 30 + 14 - 21 - 5 105

= 18 105 = 6 35

Resposta

= 6 35

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23. Calcular ∬ R d xd y 1 - x + y onde R é a região descrita na figura 7.19.
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22. Calcular ∬ R xd xd y onde R é a região descrita na figura 7.18.