Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo do plano x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x 4 .

Passo 1

Primeiro passo é desenharmos essa região. Por y = x e y = x 4 , temos que:

Passo 2

Assim, podemos escrever a integral da seguinte forma:

V = ∫ 0 1 ∫ x 4 x x + 2 y d y d x

E então calcular.

Passo 3

Como temos uma integral dupla, começamos resolvendo de fora para dentro, então:

V = ∫ 0 1 ∫ x 4 x x + 2 y d y d x = ∫ 0 1 x y + y 2 x 4 x d x = ∫ 0 1 2 x 2 - x 5 - x 8 d x = 2 3 x 3 - 1 6 x 6 - 1 9 x 9 0 1 = 2 3 - 1 6 - 1 9 = 7 18

Resposta

7 18

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Calcule a integral dupla. ∬ D 2 x yd A D é a região triangular com vértices 0 , 0 ,( 1 , 2 ) e ( 0 , 3 ) .
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