Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y z   d S

S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante.

Passo 1

Galera, aqui S vai ser a região do plano z = 1 - x - y sobre D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1 - x } . Então a integral vai ficar assim:

∫ ∫ S   y z   d S = ∫ ∫ D   y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y ( 1 - x - y ) 1 + ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) 2   d y   d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 3   ( y - x y - y 2 )   d y   d x

Passo 2

Show! Agora podemos calcular a integral dupla normalmente:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 3   ( y - x y - y 2 )   d y   d x = ∫ 0 1 3 y 2 2 - x y 2 2 - y 3 3 0 1 - x d x = ∫ 0 1 3 6 1 - x 3   d x = 3 6 - 1 - x 4 4 0 1 = 3 6 0 + 1 4 = 3 24

Resposta

3 24

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S( x 2 + y 2 + z 2 )d S S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 , juntamente com os discos do fundo e do topo
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S1 + x 2 + y 2d S S é o helicoide com equação vetorial r u ,v = u cos ⁡ v i + us e nvj + vk, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sy 2d S S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima do plano x y .
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Syd S S é a parte do paraboloide y = x 2 + z 2 que está dentro do cilindro x 2 + z 2 = 4
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sx zd S S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5