Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo com vértices ( 1,1 ) , ( 4,1 ) e ( 1,2 )

Passo 1

Primeiramente vamos analisar a região D :

Podemos representar essa área como sendo do tipo I ou II, a única dificuldade que teremos é para achar a reta que passa entre ( 1,2 ) e ( 4,1 ) a inclinação é

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 = 2 - 1 1 - 4 = - 1 3

E a reta é

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 2 = - 1 3 ( x - 1 )

y = - x 3 + 1 3 + 2

y = - x 3 + 7 3

Então podemos escrever D da seguinte forma

D = x , y   1 ≤ x ≤ 4 ,     1 ≤ y ≤ 7 - x 3

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x y na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 1 4 ∫ 1 7 - x 3 x y   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

= ∫ 1 4 x y 2 2 y = 1 y = 7 - x 3 d x = ∫ 1 4 x ( 7 - x ) 2 2 ⋅ 3 2 - x 2   d x

∫ 1 4 49 x - 14 x 2 + x 3 18 - 9 x 18   d x = ∫ 1 4 40 x - 14 x 2 + x 3 18   d x

Agora em relação a x

= 1 18 20 x 2 - 14 x 3 3 + x 4 4 1 4 = 1 18 20 ⋅ 4 2 - 14 ⋅ 4 3 3 + 4 4 4 - 20 - 14 3 + 1 4

= 1 18 320 - 896 3 + 64 - 20 + 14 3 - 1 4 = 1 18 364 - 294 - 1 4

= 1 18 70 - 1 4 = 1 18 280 4 - 1 4 = 279 72 = 31 8

Resposta

= 31 8

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Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.
Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.
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