Enunciado

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0 e acima do retângulo R = x , y - 1 ≤ x ≤ 2 ,   - 1 ≤ y ≤ 1 } .

Passo 1

Vamos começar do início!!! Temos um problema que pede para determinar o volume de um sólido limitado acima por um plano e abaixo por outro (é o plano x y !). Portanto, precisamos escrever uma integral do tipo:

V o l u m e = ∬ R F x , y d A

Em que F ( x , y ) é a função que governa a superfície superior do nosso sólido, que, nesta questão, é um plano. Portanto, precisamos isolar o z para obter uma função de duas variáveis. Desta forma, temos:

F x , y = z = 2 x + 3 y + 15 2

E, como a região é uma região retangular, podemos escrever a nossa integral da seguinte forma:

V o l u m e = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y

Agora, só nos basta resolver a integral!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a x . Portanto, temos:

∫ - 1 1 ∫ - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y

∫ - 1 1 x 2 + 3 x y + 15 x 2 - 1 2 d y

∫ - 1 1 4 + 6 y + 15 - 1 - 3 y - 15 2 d y

∫ - 1 1 9 y + 51 2 d y

Passo 3

Agora, só nos basta resolver a integral em relação a y . Portanto, temos:

∫ - 1 1 9 y + 51 2 d y = 9 y 2 2 + 51 y 2 - 1 1

9 y 2 2 + 51 y 2 - 1 1 = 9 1 2 2 + 51 ( 1 ) 2 - 9 ( - 1 2 ) 2 + 51 ( - 1 ) 2

= 9 2 + 51 2 - 9 2 - 51 2 = 51

Resposta

V o l u m e = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y = 51

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Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x ys e nx 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x c o s2 yd x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 1 , - π 4 ≤ y ≤ π 4 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A s e n 2 x 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 2 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x y 2d x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3 .