Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 25
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano e acima do retângulo .
Passo 1
Vamos começar do início!!! Temos um problema que pede para determinar o volume de um sólido limitado acima por um plano e abaixo por outro (é o plano !). Portanto, precisamos escrever uma integral do tipo:
Em que é a função que governa a superfície superior do nosso sólido, que, nesta questão, é um plano. Portanto, precisamos isolar o para obter uma função de duas variáveis. Desta forma, temos:
E, como a região é uma região retangular, podemos escrever a nossa integral da seguinte forma:
Agora, só nos basta resolver a integral!
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a . Portanto, temos:
Passo 3
Agora, só nos basta resolver a integral em relação a . Portanto, temos:
Resposta
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Sejam f ( x ) e g ( y ) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [ a , b ] e [ c , d ] . Prove que ∬ A f x g y d x d y = ∫ a b f x d x ∫ c d g y d y
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A x ys e nx 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x c o s2 yd x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 1 , - π 4 ≤ y ≤ π 4 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: d )∬ A s e n 2 x 1 + 4 y 2d x d y , onde A é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 1 2 .
Utilizando o Exercício 2, calcule: ∬ A x y 2d x d y , onde A é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3 .