Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R^() (1)/(1 + x + y) d A

R = [1,3] xx [ 1,2 ]

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região retangular. O valor de x varia no intervalo de [ 1,3 ] enquanto o valor de y varia no intervalo de [ 1,2 ] . Portanto, temos a seguinte integral:

int_1^3 int_1^2 (1)/(1 + x + y) d y d x

Pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem da integração. Mas muito cuidado nesta hora! Não esqueçam de aplicar os limites de integração corretos, referentes as variáveis x e y !

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y . Portanto, temos:

int_1^3 int_1^2 (1)/(1 + x + y) d y d x

int_1^3 [ln (1 + x + y)]_1^2 d x

int_1^3 ln (3 + x) - ln (2 + x) d x

Logo,

int_1^3 ln (3 + x) d x - int_1^3 ln (2 + x) d x

Passo 3

Agora, temos um problema de cálculo 1. Precisamos integrar esta função! Para isto, vamos lembrar que:

int ln (a + x) d x = (a + x) ln (a + x) - x + k

Sendo k uma constante. Portanto, vamos aplicar esta relação acima para resolver a nossa integral definida, logo, temos:

int_1^3 ln (3 + x) d x = [(3 + x) ln (3 + x) - x]_1^3

int_1^3 ln (3 + x) d x = [6 * ln 6 - 3] - [4 * ln 4 - 1]

int_1^3 ln (3 + x) d x = 6 ln 6 - 4 ln 4 - 2

E também,

int_1^3 ln (2 + x) d x = [(2 + x) ln (2 + x) - x]_1^3

int_1^3 ln (2 + x) d x = [5 * ln 5 - 3] - [3 * ln 3 - 1]

int_1^3 ln (2 + x) d x = 5 ln 5 - 3 ln 3 - 2

Portanto,

int_1^3 ln (3 + x) d x - int_1^3 ln (2 + x) d x = 6 ln 6 - 5 ln 5 - 4 ln 4 + 3 ln 3

Resposta

int_1^3 int_1^2 (1)/(1 + x + y) d y d x = 6 ln 6 - 5 ln 5 - 4 ln 4 + 3 ln 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o resultado do Exercício 17 para mostrar que 0 ≤ ∬ Rs e nπ x cos ⁡ π y d A ≤ 1 32 onde R = 0 , 1 4 × 1 4 , 1 2 .
A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é f x , y = C x + ys e0 ≤ x ≤ 3 ,0 ≤ y ≤ 2 0c a s oc o n t r á r i o á a Determine o valor da constante C b Encontre P X ≤ 2 , Y ≥ 1 C Encont
Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x y e acima do retângulo R = x , y | 0 ≤ x ≤ 6 ,0 ≤ y ≤ 4 Utilize a soma de Riemann com m = 3 , n = 2 e tome como ponto amostral o canto sup
Mostre que ∬ ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y d x d y Sobre o retângulo x 0 ≤ x ≤ x 1 ,y 0 ≤ y ≤ y 1 , é f x 1 , y 1 - f x 0 , y 1 - f x 1 , y 0 + f ( x 0 , y 0 )
Suponha que ƒ(x, y) possa ser escrita como um produtoƒ(x, y) = F(x)G(y) de uma função de x e uma função de y.Então a integral de ƒ sobre o retângulo R: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d pode ser calculada também co